但傅立叶级数广泛应用于数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域，可以我不能不让人尊重它。打开《信号与系统》和《锁相环原理》之类的书，还有一个傅立叶级数或者傅立叶变换动不动就会蹦出来，一长串公式让人摸不着头脑。
它是傅里叶级数的如下公式：
你不客气地说，这个公式可以说是像臭老婆脚布3354又臭又长，它的起源相当古怪。不知道那个傅立叶什么时候灵光一现，把一个周期函数f(t)强行写进了这么多东西里。单看公式，即周期函数f(t)被描述为一个常系数a0、一次的正弦和余弦函数、二次的正弦和余弦函数、n次的正弦和余弦函数等一系列公式的和，且每一项都有不同的系数，即an和Bn。对于这些系数，需要通过积分求解，即公式 ，但为了积分方便，积分区间一般设置为
能不能从数学的角度推导一下这个公式，让傅里叶级数理解的更清楚一点，让我等前世谁能理解？这里获得该公式的过程的详细解释如下：
1、将周期函数表示为三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表达，如悬挂在弹簧上的物体的简谐振动、单摆的振动、无线电电子振荡器的电子振荡等。主要可以表示为：
f(x)=A sin(t )
这里T代表时间，A代表振幅，代表角频率，代表初始相位(与调查时设置原点位置有关)。
但是世界上很多周期信号并不是正弦函数那么简单，比如方波，三角波。傅立叶思想，复周期函数f(t)可以用一系列三角函数的和An sin(nt )来表示吗？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数。所以傅立叶写了如下公式：(傅立叶的推导纯属猜想)
这里t是变量，其他都是常量。与上面最简单的正弦周期函数相比，公式5中多了一个N，N从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，即需要分解的原始周期函数。从公式5中，傅立叶想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这些正弦函数有不同的振幅分量(即公式中的an)，不同的周期或频率(即原周期函数的整数倍，即n)，不同的初始相角(即)，当然还有常数项(即A0)。麻烦的是，这个n是从1到无穷大，也就是一个无穷级数。
应该说傅立叶是一个思考如此复杂的天才。一般来说，人们不会不要把一个简单的周期函数变成如此复杂的表达式。但傅立叶认为，公式右边的一大堆函数其实是最简单的正弦函数，有利于后续的分析计算。当然，这个公式能否成立的关键是级数中的每一项都有一个未知系数，比如A0，An等。如果能找出这些系数，那么公式5就可以成立。当然，在公式5中，唯一已知的是原来的周期函数f(t)，所以只要用已知的函数f(t)来表示系数，就可以建立和计算上面的公式。
因此，傅立叶首先将等式5修改如下：
这样，公式5可以写成下面公式6的形式：
这个公式6是三角级数的通常形式。下一个任务是用已知函数f(t)来表示系数an、bn和a0。
2、三角函数正交性：
这是下一步傅里叶级数展开的预备知识。一个三角函数系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，…如果这堆函数中任意两个不同函数(包括常数1)的乘积在区间[-，]上的积分等于零，则称该三角函数系在区间[-，]上正交，即它有如下公式：
以上区间[-，]内的定积分均为0，第一、二表达式可视为三角函数cos、s in乘以1的积分；公式3-5是sin和cos的不同组合相乘的积分公式。除了这五个公式，不可能有其他组合。注意，在第四个和第五个公式中，k不能等于n，否则就不属于三角函数系统中任意两个不同的函数并成为同一个函数的平方。但是在公式3中，k和n可以相等，当它们相等时，就是两个不同的函数。通过计算定积分验证了公式4的正确性。公式4中两个函数的乘积可以写成：
可以看出，在[-，]的指定区间内，该公式的定积分为0。其他公式也可以一一验证。
3、该函数展开为傅立叶级数：
首先，傅立叶级数表示为以下公式，即公式:
从[-，]对公式进行积分，得到：
因此，获得了第一系数a0的表达式，即最上面的傅立叶级数公式中的公式。接下来，求an和bn的表达式。用cos(kt)乘以式的两边得到：
至此，傅里叶级数中系数的表达式已经得到。只要这些积分存在，就可以用的等号右边的傅立叶级数来表示原函数f(t)。以上过程是整个傅立叶级数的推导。其实如果能写出式，就不难找到各个系数的表达式。关键是，人们不会认为一个周期函数可以用一些简单的正弦或余弦函数来表示，而且这个表达式是一个无穷级数。当然，这是数学家傅立叶的天才之处，我们得尽力去理解。
综上所述，傅立叶级数的生成过程可以分为以下三个步骤：
1、设想一个周期函数f(t)可以用最简单的正弦函数级数表示，即公式5；
2、变形后用三角级数(包括sin和cos)表示；
3、通过积分，每个未知系数用f(t)的积分公式表示；
4、最后得到的四个表达式是傅立叶级数公式。
在电子学中，傅立叶级数是一种频域分析工具，可以理解为分解成DC项、基波(角频率)和谐波(角频率n)之和的复杂周期波，即级数中的各项。一般随着n的增加，各次谐波的能量逐渐衰减，所以级数中前n项之和可以非常接近原来的周期波形。这是傅立叶级数在电子分析中的一个重要应用。
