Sin(sinx)x，设sinx=t，则sint~t，故sint~t~sinx~x，由等价无穷小的传递性，故泰勒展开式是X，也可以直接计算，求五阶导数，就可以求解出除X外的所有项都是0。sin(x)的泰勒展开式为(用角度表示)sin (x)=x * pi/180-x 3/3！/(Pi/180)^3.
泰勒微积分以其将函数展开成无穷级数的定理而闻名。
这个定理可以大致描述为：一个函数在一个点的邻域内的值可以用该函数在该点的值和各阶导数值组成的无穷级数来表示。然而，半个世纪以来，数学家们并没有意识到泰勒的巨大价值定理。
这个重要的值后来被拉格朗日发现，他把这个定理定性为微积分的基本定理。泰勒定理是柯西在该定理诞生一个世纪后给出的。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何一元函数展开成幂级数。同时，泰勒成为有限差分理论的创始人。泰勒在书中还讨论了微积分在一系列物理问题中的应用，其中关于弦的横向振动的结果尤为重要。
他通过解方程推导出基本频率公式，开创了弦振动研究的先河。此外，这本书还收录了他在数学方面的其他创造性工作，如讨论常微分方程的奇异解，研究曲率问题等。
