傅立叶变换的公式是：
傅立叶变换也可以变换成另一种形式：
可见傅里叶变换的本质是内积，三角函数是一组完整的正交函数，不同频率的三角函数之间的内积是0，只有等频率的三角函数做内积才不为0。
下面从公式解释傅立叶变换的含义。
因为傅里叶变换的本质是内积，所以当f(t)和f(t)对内积求和时，只有F (t)中频率为的分量才会有内积结果，其他分量的内积都是0。可以理解为f(t)在地面上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，即信号在每一时刻处的分量叠加，可以理解为f(t)在地面上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为的分量，形成了频谱。
傅立叶逆变换的公式是：
从下面的公式分析傅立叶逆变换的含义。
傅立叶逆变换是傅立叶变换的逆过程。计算F()和内积时，F()只会有t时刻分量内积的结果，其他时刻分量内积的结果都是0。同样，积分值是频率从负无穷大到正无穷大的积分，即t时刻信号的分量叠加，叠加结果就是f(t)在t时刻的值，回到我们观测信号的初始时域。
对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换是没有意义的。傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波过程。过滤掉不需要的频率成分，然后进行逆变换，得到想要的信号。例如，如果信号中混有噪声，可以通过滤波器去除噪声信号的频率，然后通过傅里叶逆变换得到无噪声的信号。
优点：频率定位非常好，通过信号良好的频率分辨率，可以清晰地获得信号中包含的频率成分，即频谱。
缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以知道了就无法判断某个频率的时间位置。无法判断某个时间段的频率成分。
示例：
稳定信号：
傅立叶变换的结果：
因为信号是平稳信号，所以处处频率相等，所以看不出傅立叶变换的缺点。
对于非平稳信号：信号是余弦信号，仍然有四个频率分量。
傅立叶变换的结果：
从上图可以看出，我们知道某个频率，但无法判断该频率的时间位置。无法判断某个时间段的频率成分。
短时傅立叶变换
傅立叶变换有一个严重的缺点，就是不能实现时频联合分析。傅立叶变换要从负无穷计算到正无穷，在实际使用中与实时分析矛盾很大。针对这一缺点，提出了短时傅里叶变换。后来的时频分析也是基于短时傅立叶变换。
为了弥补傅里叶变换的缺陷，在信号中加入窗函数，对信号加窗后计算窗函数的傅里叶变换。在加窗之后，获得了时间附近的小的局部频谱。窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间谱，从而实现时间定位。
短时傅立叶变换的公式为：
在时域中，通过窗函数对信号进行截断，对截断后的局部信号进行傅立叶变换，即在t时刻得到这个信号的傅立叶变换，通过不断移动t，即不断移动窗函数的中心位置，可以得到不同时刻的傅立叶变换，从而得到时频分析。
短时傅里叶变换的本质和傅里叶变换一样，都是内积，但被替换为，实现了对本地信号的频谱分析。
另一种形式的短时傅立叶变换；
这个公式显示了开窗函数
缺点：短时傅立叶变换使用固定窗函数。窗函数一旦确定，其形状不会改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，需要重新选择窗口功能。短时傅里叶变换可用于分析分段平稳信号或近平稳信号，但对于非平稳信号，当信号发生急剧变化时，要求窗函数具有较高的时间分辨率；当波形变化平缓，主要是低频信号时，要求窗函数具有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能满足频率和时间分辨率的要求。测不准原理告诉我们，不可能同时在时间和频率空间以任意精度逼近被测信号，因此在信号分析中需要选择时间或频率的精度。短时傅里叶变换受到测不准原理的限制，因此短时傅里叶变换窗函数的时间和频率分辨率不能同时优化。在实际使用中，根据实际情况选择合适的窗函数。
示例：
原始信号：该信号是具有四个频率分量的余弦信号。
当窗口功能选择为：
短时傅立叶变换是：
从上图可以看出，时域分辨率较好，但频率有一定的宽度带宽，即频率分辨率较差；
当窗口功能选择为：
短时傅立叶变换是：
从上图可以看出，频率分辨率不错，但是时域分辨率差，有点接近傅里叶变换。从上图可以看出短时傅里叶变换的缺点。
审核编辑：李倩
