单端口电路的自然响应
让我们看看图1中的无源线性单端口电路，它包括电阻、电容和电感。
图1: (a)无源单端口电路(b)自然(或无源)开路响应vn(t)。
如果我们施加一个测试电流I(s)，单端口电路将产生一个电压V(s)使得V(s)=Z(s)I(s)，其中I(s)和V(s)是施加的电流和产生的电压的拉普拉斯变换，S是以1/秒为单位的复频率。阻抗Z(s)是s的有理函数形式，即分子多项式N(s)与分母多项式D(s)的比值：
公式N(s)=0的根称为Z(s)的零点，记为z1，z2，公式D(s)=0的根称为Z(s)的极点，表示为p1、p2、.极点和零点统称为根，也称为临界频率。例如，阻抗：
当s=0时，其值为零；当s=-3 J4时，它具有复共轭极点对。它可以用根来表示，即：
如果画出|Z(s)|相对于s的振幅曲线，就可以直观地理解零点和极点的含义。得到的曲线就像在S平面上竖起的帐篷，在零点接触S平面，其高度在极点变得无限大。
图2:z(s)=(10)s/(s26s 25)的幅度图。(虚轴上计算|Z|得到的分布曲线，显示的是单口电路的交流响应。)
为了找到极点的物理感觉，我们可以通过在S接近极点pk时施加电流I(s)来获得具有相对较小I(s)的给定电压V(s)。S离极点pk越近，获得给定电压V(s)所需的电流I(s)越小。在spk的极限状态下，即使电流为零，即开路，单口电路也会得到一个非零的电源电压(见图1b)！这种电压称为自然响应或被动响应，因为单端口电路可以利用其电容和电感中存储的能量产生电压。这些能量消耗在电阻中，在无源单端口的情况下，它们将随时间呈指数衰减。事实上，系统理论预测自然反应符合以下表达式：
其中a1，a2，是合适的系数(单位为V ),取决于储存的能量，Z(s)的极点是指数中时间常数的倒数。
Z(s)的零点呢？让我们看一下图3，它显示了图1的两种情况。现在施加的信号是电压V(s)，响应是电流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，说明Z(s)的零点现在是1/Z(s)的极点。通过双重推理，在szk的极限状态下，即使施加零电压(短路)，单口电路也会提供非零电流(见图3b)！这种电流被称为自然响应或被动响应，因为单端口电路使用存储在其电容和电感中的能量来产生电流。系统理论预测自然短路电流响应符合以下表达式：
其中b1、b2、是合适的系数(安培),取决于储存的能量，Z(s)的零点是指数中时间常数的倒数。
图3: (a)无源单端口电路(b)自然(或无源)短路响应(t)。
总之，单口电路的自然响应由其阻抗Z(s)的根控制：极点控制开路电压响应vn(t)，零点控制短路电流响应in(t)。在某种程度上，根就像单端口电路的DNA。例如，让我们看看图4中的单端口电路。当t=0时，电容两端的电压为9V，顶部为正。它在t0时的自然反应是什么？可以看出，单端口电路呈现的阻抗为：
显然，z1=-1/(R1C)=-1/(10ms)，P1=-1/[(R1R2)C]=-1/(30 ms)。另外，a1=[20/(10 20)]9=6V，b1=9/10=0.9mA，所以：
图4:找出(a)开路和(b)短路的自然响应。
单极控制
在图5a的电路中，由vn表示的节点与地之间的阻抗为Z(s)=R||(1/sC)=R/(1 sRC)，所以当s=-1/(RC)=-1/(1ms)时电路有极点。假设vn(0)=1V，我们可以得到：
图5: (a)基本电路(b)相同的电路，但极点可以控制。
不管r和c的值怎么选，电路的极点永远是负的。我们希望找到一种方法来控制它，使它趋于零，甚至为正。图5b所示的电路可以完成这项任务。同相放大器检测vn并输出电压：
(1 R2/R1)vn=(1千)vn
k=R2/R1
其中R2代表电位计左端和光标之间的部分。对于给定的分量值，从左向右改变光标将使k为0。对于给定的元件值，我们得到req=(10k)/(1k)，因此极点位置现在为S=-1/(reqc)=-(1k)/(1 ms)，公式(4)变为：
我们先讨论一下电路作为光标设置功能的工作原理，并用图6中的PSpice电路来展示后续的自然响应类型。
当光标一直向左转动(k=0)时，R3上的电压降为零，所以R3有零电流，C通过R放电，时间常数为1ms，如公式(4)所示；
光标向右移动时，R3向C提供电流，只要电流小于R汲取的电流，C仍会指数放电，只是速度比k=0时慢。
当光标在中间(k=1)时，R3输出的电流等于R汲取的电流，电容的净电流为零，因此电容电压保持不变。
将光标进一步向右移动(k1)，使源电流大于汲取电流，于是C呈指数充电，从而产生不同的响应，直到运算放大器饱和。
图6: Pspice电路显示了不同K值的自然响应，假设电容的初始充电电压为1V。
图7描绘了作为k的函数的极点位置
图7:极点轨迹是k的函数。
极点对控制
在图8a的电路中，由干扰引起的自然响应的阻抗vn(t)为：
D(s)的顺序表明我们现在有一个二阶系统。对于这样的系统，D(s)通常以更方便的形式表示：
其中称为阻尼比，0称为无阻尼固有频率。设D(s)=0，可以得到极对：
比较等式(8)和(9)，我们发现图8a中的电路=1.5，0=1/(RC)=1/(1 ms)。代入公式(10)得到极点对p1=-1/(0.3818ms)和p2=-1/(2.618ms)，这意味着vn(t)是由一对指数衰减组成的，因为电阻消耗了电容中储存的电能。
为简单起见，假设图8a中的RC对是相同的。可以看出，无论我们如何选择元件值，这个电路的极点永远是一个负实数。
图8: (a)基本电路(b)相同的电路，但极点可以控制。
我们希望找到一种方法来控制它们在复平面上的位置，使它们可以被放置在虚轴上，甚至溢出到复平面的右半部分。图8b示出了可以做到这一点的电路。最左边的电容提离地面，由同相放大器驱动，该放大器检测vn并输出电压(1 R2/R1)vn=(1 k)vn，其中k如公式(5)所示。对于给定的元件值，将光标从左端换到右端，会使k在0使用熟悉的电路分析技巧。我们发现干扰产生的阻抗vn(t)为：
表示2-k=2，或者：
0=1/(RC)=1/(1ms)。我们来讨论一下光标设置变化时电路的工作原理。同样，图9a的PSpice电路用于显示后续自然响应类型，如图9b所示。
随着光标不断向左滑动(k=0)，可以得到zeta=1。等式(10)给出了重合极对p1=p2=-1/(1ms)。在这种情况下，系统理论预言这种类型的自然反应是：
其中a和b是合适的系数，取决于t=0时存储在电容器中的能量。如图9b所示，在初始喘振之后，自然响应指数衰减到零。
设k=2，得到=0，所以公式(10)预测纯虚极对P1，2=j103，其中j为虚单位(j2=-1)。使用欧拉公式exp(j)exp(j)=2 cos，我们可以看到自然反应现在采用以下形式：
图9:9:PSpice电路显示了对应于不同K值的自然响应，假设t=0时，Ca充电至1V，Cb放电。
其中a和是合适的系数，取决于t=0时存储在电容器中的能量。结果是连续振荡，也称为无阻尼振荡(因此0)。物理上，运算放大器注入单端口电路的能量等于端口电阻消耗的能量，使得电容以乒乓方式交换能量。
对于00，所以现在等式(10)可以预测一对复共轭极点。例如，当k=1.5时，从公式(12)获得=0.25，因此从公式(10)获得：
代入公式(2)，再次组合使用欧拉公式，得到自然响应公式：
其中a和是合适的系数，取决于t=0时存储在电容器中的能量。
如图9b所示，对于k=1.5，电容仍开始以乒乓方式交换能量，但这种能量逐渐被电阻消耗，从而产生阻尼振荡。
当k高于2时，运算放大器注入的能量超过端口电阻消耗的能量，导致发散振荡，如图9b所示，其中k=2.1。振荡将继续增长，直到运算放大器饱和。
图10示出了作为k的函数的根轨迹。总之，无源电路的极点位于复平面的左半部分。为了使它们溢出到右半平面，我们需要一个有源元件，比如例子中的运算放大器，从自身电源获取能量，注入到单口电路中。右半平面的极点导致发散响应，最终使放大器饱和。
图10: (a)在阻尼响应状态下作为k (b)极点对的函数的根轨迹。
一个流行的应用程序
我们的电路控制极对位置的能力可用于产生连续正弦波。为此，它需要满足两个条件。
为了自启动电路，电路的初始配置必须使其极对位于复平面的右半部分(k2.0)。
图11:在虚轴上放置并按住一对极点，产生一个正弦波。
即使两个电容最初都已放电，来自运算放大器的一点噪声输入也足以触发不断增大的振荡。
一旦振荡达到所需的幅度，必须采取一些机制进行干预，以防止其进一步增长，并将其保持在该幅度。这要求将极点对置于虚轴(k=2.0)上，并自动将极点保持在虚轴上，而不管元件的老化和漂移或任何其它干扰。
在图11a中，当电源打开时，两个二极管仍然关闭，因此k=R2/R1=22/10=2.2，表明振荡增加。随着振荡的增加，二极管在交替的半个周期内逐渐导通，因此k=[R2 ||| (R3 rd)]/R1，其中rd是动态二极管电阻(rd随着二极管电流的增加而减小)。在rd《R3》的极限情况下，我们会得到k=(22||100)/10=1.8，也就是说电路可以在1.8。如果由于某种原因，实际振幅超过预期值，rd将减少，K将降至2.0以下，从而抵消振幅的增加。相反，如果幅度降至所需值以下，rd将增加，K将升至2.0以上，从而抵消幅度下降。简而言之，只有当k=2.0时，电路才能找到它的“和平”状态。
